WikiTest- Curso 2008-2009


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ENLACES DE INTERÉS




WikiTest


17.Cuestión 17

Sea un sistema de tiempo discreto no causal y con función del sistema

Determine la respuesta al impulso h[n].
Foro

Respuesta...

Como numerador y denominador tienen el mismo grado, dividimos los polinomios:

Pasamos a potencias de z negativas...

Tomando la última fracción a la que hemos llamado X(z)...



Con esa expresión ya podemos calcular la transformada inversa teniendo en cuenta que, al ser no causal, hemos de cambiar el signo y multiplicar por u[-n-1] en vez de por u[n]. En la tabla de transformadas

Por tanto:



Y, finalmente:



16.Cuestión 16

Considere un sistema estable y causal, con respuesta al impulso h[n] y función racional del sistema H(z). Se sabe que H(z) contiene al menos un polo en z=0.5 y un cero en el círculo unitario. Para cada uno de los siguientes enunciados, determine si es posible afirmar que son verdaderos o falsos, o que no hay información suficiente. Razone las respuestas.
a) h[n] es de duración finita.
b) h[n] es real.
c) g[n]=n (h[n]*h[h]) es la respueta al impulso de un sistema estable.
Foro




15.Cuestión 15

Sea un sistema LTI no causal definido por la siguiente función del sistema

Las 3 primeras muestras de la respuesta al impulso son
a)

b)

c)

d)Ninguna de las anteriores
Foro

Respuesta...

El sistema es no causal así que para utilizar el método de la división larga ordenamos dividendo y divisor de menor a mayor grado, es decir:

Entonces, podemos escribir la función del sistema

Sabemos que la transformada Z de una secuencia x[n] es:

Por tanto, como tenemos potencias positivas de z, se corresponderán con valores negativos de n, esto es: h[0] = 1; h[-1] = -3/2; h[-2] = 3/2
La respuesta correcta es la b).


14.Cuestión 14

Conocida la transformada de Fourier de una señal x(t), indicar cual de las siguientes respuestas corresponde a la transformada de Fourier de la señal

a)

b)

c)

d)

Foro


Vuestra respuesta...

Atendiendo a la tabla de propiedades de la transformada de Fourier en tiempo continuo (la flecha larga representa transformada de Fourier)...




Por tanto, la respuesta correcta es la d).


13.Cuestión 13

Se desea muestrear la señal

Indicar cual de las siguientes pulsaciones corresponde a la pulsación mínima de muestreo para evitar el solapamiento
a)

b)

c)

d)Ninguna de las anteriores
Foro

Vuestra respuesta...

Si llamamos

de forma que

Hallamos las transformadas de fourier X1(w) y X2(w)...

Por tanto X1(w) es un pulso comprendido entre -200pi y 200pi (anchura 400pi). Al convolucionarlo con las dos deltas provinientes del coseno, tendremos un pulso modulado con dos componentes espectrales (positiva y negativa) centradas en 1000pi y -1000pi respectivamente. Es decir:


Sabidas la anchura del pulso (400pi) y su posición (1000pi), vemos que su frecuencia máxima es

No obstante, en este caso se puede submuestrear para aprovechar el espectro al máximo dado que:


Como m sale entero, podemos muestrear por debajo de Nyquist, con m = 3

Con m = 2

Con m = 1

Por tanto la mínima frecuencia de muestreo de las posibilidades que se dan debería ser 1200pi y la respuesta correcta, la a).


12.Cuestión 12

Sea un sistema LTI causal cuya función de transferencia es

Si la salida del sistema es

la entrada será
a)

b)

c)

d) Ninguna de las anteriores.
Foro

Respuesta...

Dado que la exponencial es una autofunción de los sistemas LTI, tenemos que:

En este caso, si hacemos



Si escribimos cualquiera de las x(t) propuestas como suma de exponenciales y las multiplicamos por el H(s = s0) obtenido, en ningún caso obtenemos la y(t) del enunciado así que la respuesta correcta sería la d): ninguna de las anteriores.


11.Cuestión 11

Sea la señal

Los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier son:
a)

b)

c)

d)


Foro

Vuestra respuesta ...

Podemos calcular los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier con la fórmula:


Sin embargo, en este caso resulta más sencillo escribir la función x(t) como sumas y restas de exponenciales:




De donde obtenemos los coeficientes deseados:


Por tanto, la respuesta correcta es la d). Además comprobamos que como x(t) es real:



10.Cuestión 10

Sea un sistema que se encuentra en reposo inicial, caracterizado por la relación entrada-salida siguiente

Obtenga la función del sistema H(s) y estudie la estabilidad y causalidad del mismo.
Foro

MÉTODO 1. Usando ecuaciones diferenciales en Laplace:

La transformada de Laplace de la función y(t), aplicando la definición de derivada en Laplace es:



Como la respuesta al impulso se define como el cociente entre la salida y la entrada en el dominio s, resulta:



Por tanto, si planteamos los ceros y polos de la respuesta al impluso, vemos que tiene un cero en s=-1. Como el número de polos tiene que ser igual al numero de ceros, la respuesta al impulso tiene un polo en el infinito. Por tanto la región de convergencia es todo el plano menos el infinito.

De esta forma, podemos decir que el sistema es estable ya que contiene al eje jw. Además, podemos decir que la señal es causal puesto que la ROC es lado derecho (realmente es todo el plano s) y H(s) una relación de polinomios en s.


MÉTODO 2. Usando la definición de respuesta al impulso y las tablas:

Por definición, la respuesta al impulso de un sistema es la salida que se obtiene al presentarse a la entrada una Delta de Dirac. Por tanto:

Ahora podríamos usar la tabla de transformadas para calcular la respuesta al impulso en el dominio de Laplace. En las tablas existe una transformada para la derivada de la delta. De hecho, tras buscar en el Oppenheim, he descubierto que a la derivada primera de la delta se le denomina "doblete unitario".


Por tanto, la respuesta al impulso de Laplace sería:

En cuanto a la región de convergencia, sería almenos la intersección de todo el plano con todo el plano, es decir, todo el plano complejo.
En definitiva:

Por lo que el sistema es, al menos, estable ya que contiene el eje imaginario. En cuanto a la causalidad estudiando h(t), podemos afirmar que es causal puesto que:



9.Cuestión 9

Una función definida por la siguiente relación entrada salida


Indicar cual de las siguientes respuestas es correcta.
a) Es invertible, y su sistema inverso es

b)Es invariante, no lineal y no invertible.
c)Es LTI y no invertible.
d)Es invertible y el sistema inverso es

Foro



Vuestra respuesta ...

Desde el comienzo se puede intuir que el sistema es un interpolador de orden 2, que asigna un valor de 10 a la muestra que intercala.
Comencemos probando o refutando la linealidad e invarianza en el tiempo.



Por otro lado...

Por tanto, el sistema no es lineal.

Invarianza

Pero

Por tanto, el sistema no es invariante en el tiempo.

Con las dos propiedades refutadas, descartamos como posibles respuestas b) y c)
Invertibilidad...


La posible respuesta al impulso del sistema inverso si a) es correcto sería:


La posible respuesta al impulso del sistema inverso si d) es correcto sería:


Claramente vemos que sólo para el caso d)

que corresponde con un sistema diezmador de orden 2.


8.Cuestión 8


La transformada de Laplace de x(t) no converge en ningún lugar del plano s.

a)Verdadero
b)Falso
Foro


Vuestra respuesta ...

Método 1) Utilizando las transformadas básicas y las propiedades de la transformada de Laplace...

La señal x(t) podemos escribirla de la siguiente forma:



Aplicando Laplace:



Podemos comprobar que la ROC del primer término es Re{s}>0 y del segundo término es Re{s}<0, por lo que no converge.

Además, la exponencial compleja no modifica la ROC ya que es un desplazamiento en el dominio de Laplace pero solo en la dirección del eje imaginario. Es decir:




Por tanto la transformada de Laplace de x(t) no converge, luego la respuesta correcta es la a)


Método 2) Utilizando la ecuación de análisis de la Transformada de Laplace...




a)

El límite oscila y la integral no converge.

b)

Entonces podemos estudiarlo de forma análoga a como se ha hecho en clase con las transformadas de u(t) y u(-t). Pero comprobamos que:





Por tanto, la respuesta correcta es la a). No converge para ningún lugar del plano s.


7.Cuestión 7


Sea la señal

Indique cual de las siguientes respuestas es correcta.
a)

b)

c)

d) Ninguna de las anteriores

Foro

Vuestra respuesta ...

Sea:

tal que



Entonces las transformadas de X1 y X2 son:




Por la linealidad de la transformada:



siendo la regón de convergencia al menos la intersección de las anteriores. Si operamos con X(s) para obtener un cociente de polinomios en s:



Ahora, si calculamos las raices del numerador, vemos que ninguno de los polos se anulan. Por tanto, tenemos un polo en -2, otro en -1+3j y otro en -1-3j. La región de convergencia no puede contener polos, así que sólo podrá ser la intersección de ambas regiones. En definitiva:



Por lo que la respuesta correcta es la b)






6.Cuestión 6


La transformada de Laplace de la señal x(t) viene dada por la siguiente expresión:

¿Cual de las siguientes expresiones corresponde a x(t)?
a)

b)

c)

d)


Foro

Vuestra respuesta ...

Si desarrollamos un poco la expresion de x(s):




es una constante y
es un desplazamiento en el dominio del tiempo de valor (-4).

Teniendo en cuenta esto, la transformada inversa de la función es.



Por lo que la respuesta correcta es la b)





5.Cuestión 5


Considere un sistela LTI definido por la siguiente respuesta al impulso

Razone cual será su sistema inverso.
Foro


Vuestra respuesta ...

Atendiendo a las propiedades de un sistema LTI conocida su respuesta al impulso h[n],
el sistema inverso h_I[n] será aquel que cumpla:



Por tanto, si convolucionamos una señal cualquiera con la respuesta al impulso



Si ahora queremos despejar la señal x[n]:


por lo tanto, como queremos que la salida sea una delta, sustituimos la y[n] genérica por una delta, obteniendo:


Ahora, comprobemos que es correcto:






4.Cuestión 4



Sean dos sistemas LTI caracterizados por las siguientes respuestas al impulso


Razone y elija las respuestas correctas:
a) Los dos sistemas no son estables.
b) Los dos sistemas son causales.
c) El sistema 1 es estable, pero el sistema 2 no.
d) El sistema 2 es causal, pero el sistema 1 no.

Foro


Vuestra respuesta ...

a)
Estudiemos en primer lugar h1(t)...

El sistema será causal si


Dibujando la señal h1(t) se puede comprobar que no es nula para valores de t < 0. No obstante, si calculamos

podremos confirmarlo. Así pues, el sistema caracterizado por h1(t) no es causal.

Por otro lado, será estable si h1(t) es absolutamente integrable.



El sistema caracterizado por h1(t) no es estable.

b)

El sistema caracterizado por h2[n] es causal.

Será estable si h2[n] es absolutamente sumable.



El sistema caracterizado por h2[n] no es estable. En resumen:

Sistema 1
Sistema 2
Causal
No

Estable
No
No

Por tanto, las respuestas correctas son a) y d)




3.Cuestión 3


Considera dos sistemas definidos por las siguientes expresiones teniendo
en cuenta que x(t) es continua para todo t.


¿Podrías decir si son invertibles? En caso afirmativo, ¿cuál es el sistema inverso?.
Ya sabéis que el foro podéis comentar vuestras ediciones.


Vuestra respuesta ...

a)

Si:



Como el sistema responde de igual forma ante dos entradas distintas no puede ser invertible.

b)

Por el teorema fundamental del cálculo integral, si tenemos una función continua, entonces se verifica que la derivada de su integral
es la propia función:

por lo tanto estamos ante un sistema invertible.




2.Cuestión 2


Considera el sistema definido por la expresión

Cuál de las siguientes afirmaciones no es cierta:
a) El sistema no es lineal.
b) El sistema no es invariante en el tiempo.
c) El sistema no es causal.
d) El sistema es estable.
Foro


Vuestra respuesta ...

Linealidad:
El sistema no es lineal


Varianza en el tiempo:
El sistema es variante en el tiempo, es decir, no invariante.


Causalidad:
El sistema no es causal puesto que depende de valores posteriores de la señal de entrada.


Estabilidad:
El sistema no es estable ya que ante una entrada acotada no se obtiene una salida acotada.


Otra forma de ver que el sistema es inestable, es introducir una señal:

cuando n tiende a infinito, la señal se dispara, crece indefinidamente.


Por tanto, la única afirmación falsa es la d).

1.Cuestión 1


La relación entrada-salida de un sistema está definida por la siguiente expresión

Indica cual de las siguientes afirmaciones es la correcta:
a) El sistema es causal, sin memoria, estable y no es LTI.
b) El sistema es LTI, causal, con memoria e inestable.
c) El sistema es no lineal, variante en el tiempo, causal, con memoria e inestable.
d) El sistema es lineal, variante en el tiempo, causal, con memoria, y estable.

Puedes escribir tus comentarios en el foro!


Linealidad:
El sistema es lineal, pues ante una entrada

se obtiene la salida


Invarianza en el tiempo:
El sistema será variante o invariante en el tiempo dependiendo del valor que tenga t0, pues en general

pero si

No obstante, la propiedad de invarianza en el tiempo tendría que cumplirse con independencia del desplazamiento, así que este sistema es variante.

Causalidad:
El sistema es causal pues sólo depende de valores actuales o anteriores de la entrada.

Memoria:
El sistema es con memoria pues depende de valores anteriores de la entrada. Por ejemplo para t=0, el sistema depende de


Estabilidad:
El sistema es estable, pues

dado que el coseno está acotado [-1,1].

Por tanto, la respuesta correcta es la d).