WikiTest- Curso 2007-2008


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32. Calcular la respuesta al impulso del sistema LTI cuya función del sistema es de la forma






Descomponemos en fracciones simples:


Para mayor sencillez hacemos:



Siendo:



Como:


Aplicando la transformada inversa al primer término obteniendo:



Continuamos con la transformada inversa del segundo término. Para lo cual primero operamos un poco sobre la expresión:



Aplicamos la transformada inversa, usando las tablas del seno y el coseno, teniendo en cuenta que:



Luego:


Así, finalmente tenemos que:





31. La función de sistema de un sistema LTI tiene la siguiente expresión:


Indicar cual de las siguientes afirmaciones es la correcta

a) El sistema es causal e inestable.
b) La región de convergencia del sistema es todo el plano Z, excepto el infinito.
c)El sistema tiene una respuesta al impulso de duración finita.

d)Ninguna de las anteriores


La funcion del sistema que nos dan es:


Para empezar estudiaremos la situación de sus polos y ceros. Operamos sobre la expresión:


Dividimos:


Polos:


Hay cuatro polos en el origen y uno en z=0,5. Observamos que este polo se anula con un cero en igual posición. La ROC por lo tanto sera todo el plano z salvo el origen.

Una vez conocida la situación de los polos veamos las diferentes opciones:

a) El sistema es causal e inestable.

Estabilidad: Un sistema estable si y sólo si lo ROC de su función del sistema H(z) incluye el circulo unitario.

El sistema es estable, luego la opción a es falsa.

b) La región de convergencia del sistema es todo el plano Z, excepto el infinito.

Como ya hemos dicho la ROC es todo el plano z salvo el origen. Luego la opción b también es falsa.

c) El sistema tiene una respuesta al impulso de duración finita.

Si h[n] es de duración finita, entonces su ROC es el plano z complejo, excepto posiblemente en z=0 y/o z=infinito.

ESTA OPCION ES CORRECTA.

Podemos comprobarlo además calculando h[n]

Por el método de la división larga llegamos a la siguiente expresión de H(z):



Aplicamos la transformada inversa obteniendo:



Que efectivamente es de duración finita.



30. Al introducir en un sistema LTI de tiempo discreto la señal


se obtiene la señal de salida


Indicar cual de las siguientes respuestas es correcta:

a) Con la información proporcionada es posible obtener la función de transferencia H(z) del sistema.
b)


c)

d)



Introducimos en un sistema LTI de tiempo discreto la señal:


Aplicando el concepto de autofunción obtendríamos:


Desarroyando la expresión de y[n]


Identificando:


Luego la respuesta correcta es la d.


29. La pulsación máxima de la señal x(t) es


Indicar cual será la frecuencia mínima de muestreo de la señal








Queremos muestrear la señal:


Para lo cual, primero hallamos su transformada de Fourier.


La duración de la señal resultante de la convolución de dos señales en tiempo continuo es la suma de las duraciones de ambas señales. Como la pulsación máximas de x(t) es:

tal y como nos dice el enunciado, La pulsación máxima de:

será

Ademas:

Corresponde a una

Centrada en

Con lo que la señal se encontrara en:


Contemplando esto vemos como:


En los intervalos:


Luego la pulsación máxima de Y(w) será:


Aplicando el teorema de Nyquist hallamos la frecuncia mínima de muestreo:


Luego, la respuesta correcta es la C.


28. Se desea muestrear la señal


Indicar cual de las siguientes pulsaciones corresponde a la pulsación mínima de muestreo para evitar el solapamiento.






Tenemos la señal:



Comenzaremos operando un poco sobre ella para ver más clara su transformada de Fourier.



Por otra parte en las tablas tenemos:

Con anchura del pulso


Por lo que aplicaremos la propiedad de dualidad:



Sin embargo, en este caso, al tener las señales simetría par, no es necesario poner como variable en la transformada de Fourier (-w)

Vemos pués, teniendo en cuenta esto, que la transformada de la sinc cuadrada será:


Como teníamos:

Hacemos:



Calculamos la transformada de Fourier


Vemos como la anchura del pulso queda


Que sería la pulsación mínima de muestreo.

Luego la respuesta correcta sería la b



27. La trasformada de Fourier de


es


Indicar cual de las siguientes expresiones corresponde a la transformada de Fourier de









LA RESPUESTA CORRECTA ES LA C.

Veamos,

Aplicando la propiedad de dualidad:



a los datos del problema:

Obtenemos:


Buscamos la transformada de Fourier de x(t)

Observando Y(t) vemos que:


La propiedad de linealidad nos dice que:


Por lo que podemos calcular la transformada de x(t) como


QUE ES LA OPCION C


26. El DSF de una señal periódica de tiempo contínuo viene dado por la siguiente expresión


a)La señal x(t) es real e impar.
b)La señal x(t) es imaginaria pura.
c)La señal x(t) es compleja e impar.
d)La señal x(t) es real y par.



Veamos, tenemos una señal:

De la que debemos discernir si es par/impar real/imaginaria pura/compleja.

Realizaremos nuestras deducciones a partir de los coeficientes a_k, que son:


A. ¿x(t) real?

Para que x(t) sea una señal real sus coeficientes han de cumplir:


Para nosotros:

y

El seno es una función impar, es decir:

Por lo que:




Efectivamente:




Vemos como:

Y por la propiedad del seno que vimos antes:




Tenemos que:

Y ademas:




Primero:

Segundo:

Efectivamente son iguales.

LA SEÑAL ES REAL

A. ¿x(t) real e impar?

Para serlo sus a_k deberían ser imaginarios e impares.



Como el seno es una función impar efectivamente sus a_k son imaginarios e impares.

x(t) ES REAL E IMPAR.

LA OPCIÓN CORRECTA ES LA A.



25. La transformada de Fourier de una señal x(t) es



a) La señal x(t) es periódica.
b) La señal x(t) es real.
c) Al aplicar la señal x(t) a un sistema con respuesta en frecuencia


la señal de salida es periódica.
d) La señal x(t)=0 para t < 0.



La transformada de Fourier de x(t) es


Observando las tablas y por la propiedad de desplazamiento en frecuencia vemos como:


a) La señal x(t) es periódica

FALSO


es periódica de periodo:



es periódica de periodo:


Sin embargo la suma de ambas no es periódica ya que la razón entre el par de frecuencias nos da un número no racional.

b) La señal x(t) es real

FALSO

Sabemos por la relación de Euler que:


y

Luego:


x(t) tiene parte real y parte imaginaria.

c) Aplicamos la señal x(t) a un sistema con respuesta en frecuencia

la señal de salida es periódica.

VERDADERO


Veamos, la señal de salida será, teniendo en cuenta:



Y por la propiedad de convolución:



Expresada en t, nos quedaría:



Como vemos es periódica de periodo:


d) La señal x(t)=0 para t<0

FALSO

Podemos observarlo en la expresión obtenida para x(t)




24. El desarrollo en serie de Fourier (DSF) de una señal x(t) viene dado por la expresión:



Indicar cual de las siguientes afirmaciones es la correcta:

a) La señal x(t) no es periódica, tiene un DSF limitado en k.
b) La señal x(t) es periódica y su coeficiente a_4 es 0.
c) La señal x(t) tiene un periodo T=3.
d) Ninguna de las anteriores.



Tenemos un desarrollo en serie de fourier:


Que en general se expresa como:


Identificando vemos como:

Si

Ademas

Como

Tenemos que T=9

Veamos ahora las opciones:

a) La señal x(t) no es periódica, tiene un DSF limitado en k.
Falso. El que una señal tenga un DSF limitado en k, no implica que no sea periódica. Veamos por ejemplo el caso del DSF del

Señal periódica aunque esté limitada en k.



b) La señal x(t) es periódica y su coeficiente a_4 es 0.

Esta afirmación como hemos visto es verdadera.
Ya que


c) La señal x(t) tiene un periodo T=3.

Falso. Tiene periodo T=9.


23. La siguiente ecuación diferencial caracteriza a un sistema LTI causal


El sistema es

a) Un filtro paso bajo.
b) Un filtro paso banda.
c) Un filtro banda eliminada.
d) Un filtro paso alto.



1. Razonamiento por observación del diagrama polos-ceros.

Tenemos:

Así que podemos comenzar viendo su transformada de Fourier:

Y su función de transferencia:

en la que observamos un cero en el origen y otro en el infinito, además de sus correspondientes polos, conjugados en -1+j y -1-j

Veamos los tipos de filtros según la posición de los polos y ceros

1. Filtro paso bajo: Permite el paso de frecuencias bajas, desde frecuencia 0 hasta una determinada. Todos sus polos se hallan más próximos al origen que sus ceros.

2. Filtro paso alto: Permite el paso de frecuencias desde una frecuencia de corte hacia arriba, sin que exista una frecuencia superior límite determinada. Todos sus ceros se hallan más próximos al origen que sus polos.

3. Filtro paso banda: Permiten el paso de frecuencias contenidas en un determinado rango. Lo más próximo al origen son ceros, después polos y nuevamente ceros.

4. Filtro banda eliminada: No permite el paso a unas determinadas componentes frecuenciales contenidas en un cierto rango de frecuencias. Lo más próximo al origen son polos, después ceros y nuevamente polos.

Observando el diagrama polos-ceros vemos como no nos hallamos en el caso de un filtro paso bajo, pues tenemos un cero en el origen, tampoco estamos en el del filtro paso alto, tenemos un cero en el infinito. Próximo al origen tenemos un cero, exactamente en el origen de hecho, después dos polos y finalmente en el infinito otro cero. Nos hallamos pues en el caso de un filtro paso banda.

2. Representación y observación de |H(w)| en Matlab.

Num=[0 1 0]
Den=[1 2 2]
zplane(Num,Den)
w=0:0.001:50;
H=freqs(Num,Den,w);
figure(2)
subplot(2,1,1),plot(w,abs(H));
subplot(2,1,2),plot(w,unwrap(angle(H)));


22. ¿Cual es el desarrollo en serie de Fourier de la siguiente señal?.





Buscamos el desarrollo en serie de Fourier

de x(t)=sen(5t)+cos(8t)

Sabemos por la relación de Euler que


Tenemos:


El periodo del seno es:

El periodo del coseno es:

Sabemos que el periodo resultante de la suma de dos señales de distinto periodo será el mínimo común múltiplo de los dos periodos.


El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.

Múltiplos de T_s


Multiplos de T_c


Por lo que vemos que:

Como

Obtenemos:


Igualamos, sustituyendo en la expresión general la omega_0 obtenida:



Solo tenemos términos distintos de 0 para


Identificamos pues los correspondientes a_k:



El resto de a_k serán 0

Concluimos pues, que la solución queda:


con:


si



21. Dado un sistema causal caracterizado por la siguiente función de transferencia


su transformada de Fourier será




d) Ninguna de las anteriores


Tenemos un sistema H(s) causal, dado por la funcion de transferencia
H(s) = 1/(s-1), de donde deducimos que la ROC será { Re{s} > 1}, por lo que no se incluye al eje imaginario. Por el estudio de las propiedades de los sistemas a partir de la transformada de Laplace (tema 3), deducimos que el sistema NO VA A SER ESTABLE, ya que la ROC no incluye el eje imaginario.
Por tanto, no se cumple una de las condiciones de Dirichlet, que afirma que para que exista transformada de Fourier la señal tiene que ser absolutamente integrable.
La respuesta correcta sería por tanto: d) Ninguna de las anteriores.

Nota: sólo podemos pasar de forma directa de la transformada de Laplace a la transformada de Fourier mediante la igualdad s=jw si el sitema es estable.




20. La transformada de Fourier de la señal


viene dada por la expresión:



d) No está definida la transformada de Fourier, puesto que la ROC de su transformada de Laplace no incluye al eje jw.
e) Ninguna de las anteriores



Partimos de la expresión para y(t)


Como conocemos la trasformada de Fourier del escalón ( u(t) )


Aplicamos la propiedad del desplazamiento en el tiempo



Aplicamos la propiedad del escalado



De este modo tenemos que la transformada es


Si ahora aplicamos las propiedad de derivación en el tiempo, entonces tendremos


Operando nos queda



Si multiplicamos y dividimos por -2j, y aplicamos la relación de Euler, tenemos


Luego la respuesta correcta es la a.



19. Con la siguiente información sobre x(t), determine x(t).

  • x(t) es real
  • x(t) es periódica, con periodo T=6, y tiene coeficientes de Fourier a_k
  • a_k=0 para k= 0 y k>2
  • x(t)=-x(t-3)
  • a_1 es un número real positivo
  • Se cumple





1. x(t) es periódica, con periodo T=6, y tiene coeficientes de Fourier a_k.




2. a_k=0 para k=0 y k>2

x(t) tendrá cuatro coeficientes de Fourier distintos de cero:


3. x(t) es real

Por lo que se cumplirá:

Operando:


4. a_1 es un número real positivo



5. x(t)=-x(t-3)


Como x(t)+x(t-3)=0

Consideramos


Es decir

Por lo que tenemos:


6. Se cumple:


Aplicamos el teorema de Parseval:

A nuestro problema:

Y teniendo en cuenta que:
(4. a_1 es un número real positivo)
Obtenemos


SOLUCION:



18.Sea un sistema LTI Causal, cuya función de transferencia es


Determinar la salida del sistema si la entrada es




Como no existe la Transformada de Laplace de x(t), tenemos que descomponer el coseno en exponenciales complejas mediante la relación de Euler:



Una vez desarrollada la señal de este modo, podemos usar la propiedad de autofunciones de sistemas LTI, por tanto, la señal quedaria así:


Los autovalores son numeros complejos, por lo tanto tienen modulo y fase y también se pueden expresar en exponenciales complejas. Operando quedaría lo siguiente:




Usando la relación de Euler a la inversa:



La propiedad de autofunción es la siguiente:
Sea una función

siendo So un numero complejo, y sea H(s) la transformada de Laplace de h(t) (respuesta al impulso del sistema), entonces:




17. Considere un sistema estable y causal con una respuesta al impulso real h(t) y una función del sistema H(s). Se sabe que H(s) es racional, que uno de sus polos está en -1+j, que uno de sus ceros está en 3+j, y que tiene exactamente dos ceros en el infinito. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.

a) La ROC para H(s) es

b)

c) H(s) no tiene más que cuatro polos.


Por la propiedad de Cojugación de la transformada de Laplace sabemos que tenemos 4 ceros, dos en el infinito, uno en 3+j y el último en 3-j. Además conocemos la existencia segura de dos polos, en -1+j y -1-j. Como sabemos que H(s) tiene exactamente dos ceros en el infinito, deberíamos tener 4 polos, ya que el número de polos y ceros ha de ser igual. Desconocemos donde se hallan los otros dos polos, sabiendo de ellos únicamente que se encuentran en el semiplano izquierdo.
La opción c es verdadera.


La ROC de H(s), al ser racional y derecha, será la región del plano s que se encuentra a la derecha del polo localizado más hacia la derecha. Si estos polos son -1+j y -1-j entonces podremos afirmar que la opción a es verdadera. Sin embargo, desconocemos la situación de dos polos restantes, y no podemos saber si su parte real estará entre -1 y 0. Por lo tanto ...

Faltan datos para la opción a


Si el orden del polinomio del denominador es mayor que el orden del polinomio del numerador, se dice que H(s) tiende a cero al acercarse a infinito, es decir, tiene n ceros en el infinito. Sabemos que nuestra función del sistema tiene dos ceros en el infinito. Luego la respuesta b es falsa. El límite será cero.




16. Determine cual de las siguientes afirmaciones es verdadera:

a) Un sistema estable continuo debe tener todos sus polos en la mitad izquierda del plano s.
b) Un sistema estable y causal debe tener sus polos y ceros en la mitad izquierda del plano s.



La a, es FALSA:

Podemos verlo con un contraejemplo. En él intentaremos hallar una h(t) bilateral, estable y continua. De forma que su ROC sea una banda en el plano s limitada por un polo en el semiplano derecho y otro en el izquierdo.



La b, también es falsa.

Un sistema causal será estable si y sólo si todos los polos de H(s) están en la parte izquierda del plano s, es decir, todos los polos tienen parte real negativa. Sin embargo, no es necesario que los ceros estén en la parte izquierda también.
Demostramos esto con un contraejemplo:

Causal y estable

con ROC: Re(s)>-1 (Polos en -1, -2, Ceros en 1)



15.La transformada de Laplace de una señal x(t) es racional y tiene únicamente dos polos localizados en s = -1 y s= -4. Sabiendo que la señal


es convergente, indicar cual de las siguientes afirmaciones es correcta:

a) Las señales x(t) y g(t) son de lado derecho.
b)Las señal x(t) es de lado derecho, y g(t) es bilateral.
c)Las señales x(t) y g(t) son bilaterales.
d)La señal x(t) es de lado izquierdo, y g(t) bilateral.



Si g(t) es estable su ROC contendrá al eje jω.

Por las propiedades de la Transformada de Laplace sabemos que la señal g(t) tendrá una transformada:
G(s) = X(s – 3) Donde si

y

Entonces

La señal G(S) tendrá sus polos en: s=-1 y en s=2
Al ser estable y contener al eje jω –> La señal g(t) será bilateral.
Siendo su ROC:


Teniendo en cuenta:

y

Sabemos que:

Es decir x(t) es bilateral también.

Podríamos haber llegado a esta conclusión también observando que R2 debe ser una versión desplazada de R1.

La opción correcta es la c


14.La transformada de Laplace de


no converge en ningún lugar en el plano s. ¿Verdadero o falso?.



Partimos de la definición de Laplace:









Para que converja lo que tenemos arriba

debe converger a medida que t se va a infinito.

Eso implica que


Luego :

La afirmación es falsa, la trasnformada converge para s > 0




13. Se sabe que una señal x(t) absolutamente integrable tiene un polo en s=2. Cual de las siguientes afirmaciones es falsa:

a) La señal x(t) podría ser de duración finita.
b) La señal x(t) podría ser izquierda.


Por ser absolutamente integrable, debe contener al eje (jw). Puesto que tiene un polo en s=2, la única opción es que su región de convergencia sea

Es decir, debe ser lado izquierdo.
En consecuencia, la opción falsa es la a).

12. Considere la conexión en cascada de dos sistemas A y B. El primer sistema (A) es un sistema LTI, y el segundo sistema (B) es el inverso del sistema A. Sean


las salidas del sistema A, ante las entradas


respectivamente.¿Cual será la salida del sistema B para la siguiente entrada?



Introducimos en el sistema A la señal:

Obteniendo al ser LTI

El sistema B, al ser el inverso del A nos devolverá

Esto es debido a que la asociación en cascada de los dos sistemas A y B, siendo B el inverso de A, nos dará un sistema C:

Al que al aplicarle la señal

Obtendremos:



11. La conexión en cascada de un sistema LTI NO causal con uno causal es necesariamente NO causal. ¿Es esto cierto?.


La afirmación "La conexión en cascada de un sistema LTI NO causal con uno causal es necesariamente NO causal" es falsa.
Contraejemplo:
Sea el primer sistema con una respuesta al impulso de la forma:

Sea el segundo sistema con una respuesta al impulso de la forma:

Sean x[n] la entrada del sistema, y[n] la salida tras el primer sistema y z[n] la salida al final, tras el segundo sistema.
Entonces:


La respuesta al impulso del sistema total es:

que es causal, y por tanto queda demostrada la falsedad de la afirmación.

Nota: La convolución de una señal con una delta da como resultado la señal desplazada al punto donde se encuentra la delta.


10. ¿El inverso de un sistema LTI causal es siempre causal?


La afirmación:
"El inverso de un sistema LTI causal es siempre causal" es falsa. Contraejemplo:
Sea el primer sistema con una respuesta al impulso de la forma:

Sea el segundo sistema con una respuesta al impulso de la forma:

Sean x[n] la entrada del sistema, y[n] la salida tras el primer sistema y z[n] la salida al final, tras el segundo sistema.
Entonces:


El resultado nos asegura que el sistema inverso al primer sistema es el segundo, ya que al conectarlos en cascada obtenemos la entrada x[n]:

Los sistemas son causal y no causal respectivamente. Por tanto queda demostrada la falsedad de la afirmación.


Nota: La convolución de una señal con una delta da como resultado la señal desplazada al punto donde se encuentra la delta.


9. Sea la siguiente respuesta al impulso que caracteriza a un sistema LTI.



a) El sistema es anticausal e inestable.
b) El sistema es causal e inestable.
c) El sistema es anticausal y estable.
d) El sistema es causal y estable.




  • Causalidad:

Nuestro sistema será causal si la salida solo depende de entradas en el mismo instante o anteriores. Para ello la respuesta al impulso debe verificar:



Efectivamente, nuestra señal lo verifica, ya que:

Podemos afirmar:


ES CAUSAL

  • Estabilidad

Un sistema será estable si responde a entradas acotadas en amplitud con salidas también acotadas. Para ello la respuesta al impulso debe verificar:



Lo comprobamos para nuestro sistema:



Por partes:



Nos queda:


ES ESTABLE

La respuesta correcta es la d. El sistema es causal y estable.

8. Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Si


y


entonces



Es verdadero.
Lo demostramos con el siguiente desarollo matemático:

Como

el sumatorio nos quedará

Como

entonces

nos queda definitivamente

este producto solo tiene sentido para aquellos valores de k que cumplan:


7. Dadas las secuencias x[n] y h[n] indicadas a continuación, determine la expresión matemática de su convolución.






Aplicamos la propiedad conmutativa

Aplicamos la propiedad distributiva

Resolvemos, con las propiedades de convolución con deltas:


NOTA: Propiedades de convolución con deltas:



6. Sea la relación entrada-salida siguiente


¿Es el sistema invariante en el tiempo?, ¿y lineal?.


Linealidad

Invarianza

Definimos una señal como la señal original desplazada, obtenemos la función del sistema y sustituimos. Como la señal ya esta desplazada, el escalado solo afecta a la n y no al desplazamiento.

Ahora, obtenemos la señal del sistema ante la entrada original y luego aplicamos el desplazamiento. Ahora el escalado afecta a todo por lo que si afecta al desplazamiento.

Como vemos las respuestas obtenidas son distintas por lo que el sistema NO es invariante.


5. La relación entrada-salida de un sistema viene determinada por la siguiente expresión


a) El sistema es inestable y lineal.
b) El sistema es estable, invariante con el tiempo y con memoria.
c)
El sistema es estable, variante con el tiempo, causal y con memoria.

Respuesta:

  • Causalidad

Decimos que un sistema es causal si la salida del mismo en un instante depende sólo de entradas en ese instante o anteriores, nunca futuras.

El sistema ante el que nos hallamos es causal ya que unicamente posee memoria de pasado, es decir depende unicamente de instantes pasados.

  • Invarianza en el tiempo:

Un sistema es invariante cuando al aplicar un desplazamiento a la señal de entrada, la respuesta del sistema es la inicial desplazada del mismo modo.

Comprobamos la invariabilidad de nuestro sistema introduciendo una señal desplazada:

Ademas desplazamos la salida obtenida ante una señal sin desplazar:

Al ser las señales obtenidas diferentes concluimos que el sistema es variante con el tiempo.

  • Estabilidad:

Un sistema es estable cuando al introducir una señal cualquiera acotada en amplitud, la salida obtenida también esta acotada en amplitud.

Introducimos una señal:


Obteniendo:

Ya que el sen(4t) está acotado entre -1 y 1 para todo valor de t

Por tanto el sistema es un sistema estable.

LA RESPUESTA CORRECTA SERÁ LA C.

4. ¿Es el siguiente sistema invertible?


a)El sistema no es invertible.
b) El sistema inverso es

c)El sistema inverso es

d) Ninguna de las anteriores

Respuesta:


Un sistema es invertible cuando conocida la señal de salida podemos obtener la señal de entrada que la ocasionó.
Efectivamente el sistema es invertible. Procedemos a obtener su sistema inverso:


Sabiendo que:

Operamos:

Despejando x[n]

Llegamos al sistema inverso. De esta forma vemos como la opción correcta es la D.

3. Considere un sistema continuo con entrada x(t) y salida y(t) relacionada mediante



¿El sistema es lineal?.


Respuesta:

Linealidad:



Es lineal.

2. Sea la relación entrada-salida siguiente



Determine si el sistema es lineal, invariante o ambos.


Respuesta:

Linealidad:




Es lineal.
Invarianza:



Es invariante en el tiempo.


1. Considere un sistema continuo con entrada x(t) y salida y(t) relacionada mediante


¿Es el sistema causal?.


Respuesta:

Definición: Un sistema es causal si para conocer la salida en un instante dado sólo se necesita conocer la entrada en el instante actual y/o anteriores (nunca futuros).
Para el instante

, se tiene:

Como depende de un instante futuro, el sistema NO es causal.